循环小数，也稱為無限循環小數，是從小數部分的某一位起，一個數字或幾個數字，依次不斷地重複出現的小數。
循環小數 1 7 =0.142857142857…
各种各样的数
基本
N
⊆
Z
⊆
Q
⊆
R
⊆
C
{\displaystyle \mathbb {N} \subseteq \mathbb {Z} \subseteq \mathbb {Q} \subseteq \mathbb {R} \subseteq \mathbb {C} }
正數
R
+
{\displaystyle \mathbb {R} ^{+}}
自然数
N
{\displaystyle \mathbb {N} }
正整數
Z
+
{\displaystyle \mathbb {Z} ^{+}}
小数
有限小数
无限小数
循环小数
有理数
Q
{\displaystyle \mathbb {Q} }
代數數
A
{\displaystyle \mathbb {A} }
实数
R
{\displaystyle \mathbb {R} }
複數
C
{\displaystyle \mathbb {C} }
高斯整數
Z
[
i
]
{\displaystyle \mathbb {Z} [i]}
负数
R
−
{\displaystyle \mathbb {R} ^{-}}
整数
Z
{\displaystyle \mathbb {Z} }
负整數
Z
−
{\displaystyle \mathbb {Z} ^{-}}
分數
單位分數
二进分数
規矩數
無理數
超越數
虚数
I
{\displaystyle \mathbb {I} }
二次無理數
艾森斯坦整数
Z
[
ω
]
{\displaystyle \mathbb {Z} [\omega ]}
延伸
二元数
四元數
H
{\displaystyle \mathbb {H} }
八元数
O
{\displaystyle \mathbb {O} }
十六元數
S
{\displaystyle \mathbb {S} }
超實數
∗
R
{\displaystyle ^{*}\mathbb {R} }
大實數
上超實數
雙曲複數
雙複數
複四元數
共四元數（英语：Dual quaternion）
超复数
超數
超現實數
其他
質數
P
{\displaystyle \mathbb {P} }
可計算數
基數
阿列夫數
同餘
整數數列
公稱值
規矩數
可定义数
序数
超限数
p進數
数学常数
圓周率
π
=
3.14159265
{\displaystyle \pi =3.14159265}
…
自然對數的底
e
=
2.718281828
{\displaystyle e=2.718281828}
…
虛數單位
i
=
−
1
{\displaystyle i={\sqrt {-{1}}}}
無限大
∞
{\displaystyle \infty }
查论编
目录
1 定義
2 性质
3 化為分數的方法
4 计算方法
5 表示方法
6 缺点
6.1 不唯一性
6.2 与進位制系統密切相关
7 参考资料
8 參見
9 外部連結
定義
编辑
循環小數都為有理數的小數表示形式，例：
5
4
=
1.25
=
1.25000000
⋯
=
1.25
0
¯
=
1.24999999
⋯
=
1.24
9
¯
{\displaystyle {5 \over 4}=1.25=1.25000000\cdots =1.25{\overline {0}}=1.24999999\cdots =1.24{\overline {9}}}
1
3
=
0.3333333
⋯
=
0.
3
¯
{\displaystyle {1 \over 3}=0.3333333\cdots =0.{\overline {3}}}
1
7
=
0.
142857
142857
⋯
=
0.
142857
¯
{\displaystyle {1 \over 7}=0.{\color {red}142857}{\color {blue}142857}\cdots =0.{\overline {142857}}}
性质
编辑
一个分母为n的循环小数的循环节位数最多不超过n-1位。若该数为素数，循环节位数一定是N-1的因数（参见：费马伪素数）。為了证明这点，可用反证法。假设
n
{\displaystyle n}
的循环节为m，令m>n。将1/n乘以10，循环往复操作，会得到不同的余数。根据余数定义，余数的个数等于分母本身。又因为当余数为0的时候是整数而非循环小数，所以只有n-1种循环节。若长度为m位，则必有(m-n+1)种循环节无法轮替，所以一个分母为n的循环小数的循环节位数最多不超过n-1位。
根據分數
b
a
{\displaystyle {\frac {b}{a}}}
的情況分開討論
1.除数a为
2
m
×
5
n
×
K
{\displaystyle 2^{m}\times 5^{n}\times K}
的倍數时，
b
÷
a
{\displaystyle b\div a}
有max(m,n)个不循环位数，其中
b
{\displaystyle b}
為任意自然數，
K
{\displaystyle K}
為非
2
m
,
5
n
{\displaystyle 2^{m},5^{n}}
之其他數。
2.如果
1
⩽
b
<
a
{\displaystyle 1\leqslant b ，a不是2或5的倍数，並且a與b互質，那麼存在一個正整數e，e為 b ÷ a {\displaystyle b\div a} 的循環節位數，而e= min { e ∈ N : 10 e ≡ 1 ( mod a ) } {\displaystyle \operatorname {min} \left\{e\in \mathbb {N} :10^{e}\equiv 1{\pmod {a}}\right\}} 。[1] 10 e ≡ 1 ( mod a ) {\displaystyle 10^{e}\equiv 1{\pmod {a}}} 表示 10 e − 1 {\displaystyle 10^{e}-1} 可以整除a，或稱 10 e {\displaystyle 10^{e}} 與1同餘） 事實上以該參考文獻的定理一公式推導式子: 10 d × b a = q + b a {\displaystyle {\frac {10^{d}\times b}{a}}=q+{\frac {b}{a}}} 來看， b > a {\displaystyle b>a} 也成立，例如 2 7 {\displaystyle {\frac {2}{7}}} 與 9 7 {\displaystyle {\frac {9}{7}}} ，兩者循環小數一致，因為 8 7 = 1 + 1 7 {\displaystyle {\frac {8}{7}}=1+{\frac {1}{7}}} ，只差別在商，餘數皆為1(同餘)故成立。 3.承接以上兩點，當除数a可以質因數標準分解式表示成 ( 2 m × 5 n ) × ( P 1 S 1 × P 2 S 2 × {\displaystyle (2^{m}\times 5^{n})\times (P1^{S1}\times P2^{S2}\times } ⋯ × P n S n ) {\displaystyle \times Pn^{Sn})} 時，會有max(m,n)個不循環位數，和 E {\displaystyle E} 個循環節位數。 其中， P 1 S 1 {\displaystyle P1^{S1}} , P 2 S 2 {\displaystyle P2^{S2}} ,⋯, P n S n {\displaystyle Pn^{Sn}} 分別各有e1,e2,...,en個循環節位數，存在一個最小公倍數 E = [ {\displaystyle E=[} e1,e2,...,en ] {\displaystyle ]} 。 例： 11 2 2 × 3 2 × 5 3 × 7 × 17 {\displaystyle {\frac {11}{2^{2}\times 3^{2}\times 5^{3}\times 7\times 17}}} 的循環節個數？ 答：前三位不循環（2 和 5 的最高次方為 3），循環節個數是 48（因為 3 2 {\displaystyle 3^{2}} 的循環節位數為1，7的循環節位數為6，17的循環節位數為16，[1,6,16]=48）[2] 化為分數的方法 编辑 0.xxx...=x/((10^(上取(log(x))))-1) (可能未約至最簡) (⬇另一方法) 先看有幾位「非循環節位數（ n {\displaystyle {\color {blue}n\,\!}} ）」和「循環節位數（ m {\displaystyle {\color {red}m\,\!}} ）」，算出後，將 999 ⋯ 9 ⏟ m 000 ⋯ 0 ⏟ n {\displaystyle {{\begin{matrix}\underbrace {999\cdots 9} \\{\color {red}m\,\!}\end{matrix}}{\begin{matrix}\underbrace {000\cdots 0} \\{\color {blue}n\,\!}\end{matrix}}}} 擺於「分母」。 「分子」則是將「非循環節部分」和「循環節部分」併為一個數字，將其減去「非循環節部分」，即 a 1 a 2 a 3 ⋯ a n b 1 b 2 b 3 ⋯ b m − a 1 a 2 a 3 ⋯ a n {\displaystyle a_{1}a_{2}a_{3}\cdots a_{n}b_{1}b_{2}b_{3}\cdots b_{m}-a_{1}a_{2}a_{3}\cdots a_{n}} ，詳細公式如下。 公式： 0. a 1 a 2 a 3 ⋯ a n b 1 b 2 b 3 ⋯ b m ¯ = a 1 a 2 a 3 ⋯ a n b 1 b 2 b 3 ⋯ b m − a 1 a 2 a 3 ⋯ a n 999 ⋯ 9 ⏟ m 000 ⋯ 0 ⏟ n {\displaystyle 0.a_{1}a_{2}a_{3}\cdots a_{\color {blue}n\,\!}{\overline {b_{1}b_{2}b_{3}\cdots b_{\color {red}m\,\!}}}={{a_{1}a_{2}a_{3}\cdots a_{n}b_{1}b_{2}b_{3}\cdots b_{m}-a_{1}a_{2}a_{3}\cdots a_{n}} \over {{\begin{matrix}\underbrace {999\cdots 9} \\{\color {red}m\,\!}\end{matrix}}{\begin{matrix}\underbrace {000\cdots 0} \\{\color {blue}n\,\!}\end{matrix}}}}} 原理： 令 x = 0. a 1 a 2 a 3 ⋯ a n b 1 b 2 b 3 ⋯ b m ¯ {\displaystyle x=0.a_{1}a_{2}a_{3}\cdots a_{n}{\overline {b_{1}b_{2}b_{3}\cdots b_{m}}}} 。 則 10 n x = a 1 a 2 a 3 ⋯ a n . b 1 b 2 b 3 ⋯ b m ¯ {\displaystyle 10^{n}x=a_{1}a_{2}a_{3}\cdots a_{n}.{\overline {b_{1}b_{2}b_{3}\cdots b_{m}}}} ──①式。 10 n + m x = a 1 a 2 a 3 ⋯ a n b 1 b 2 b 3 ⋯ b m . b 1 b 2 b 3 ⋯ b m ¯ {\displaystyle 10^{n+m}x=a_{1}a_{2}a_{3}\cdots a_{n}b_{1}b_{2}b_{3}\cdots b_{m}.{\overline {b_{1}b_{2}b_{3}\cdots b_{m}}}} ──②式。 ②－①⇒ ( 10 n + m − 10 n ) x = a 1 a 2 a 3 ⋯ a n b 1 b 2 b 3 ⋯ b m − a 1 a 2 a 3 ⋯ a n {\displaystyle \left(10^{n+m}-10^{n}\right)x=a_{1}a_{2}a_{3}\cdots a_{n}b_{1}b_{2}b_{3}\cdots b_{m}-a_{1}a_{2}a_{3}\cdots a_{n}} 。 x = a 1 a 2 a 3 ⋯ a n b 1 b 2 b 3 ⋯ b m − a 1 a 2 a 3 ⋯ a n 10 n + m − 10 n = a 1 a 2 a 3 ⋯ a n b 1 b 2 b 3 ⋯ b m − a 1 a 2 a 3 ⋯ a n 10 n ( 10 m − 1 ) = a 1 a 2 a 3 ⋯ a n b 1 b 2 b 3 ⋯ b m − a 1 a 2 a 3 ⋯ a n 1000 ⋯ 0 ⏟ n × 999 ⋯ 9 ⏟ m = a 1 a 2 a 3 ⋯ a n b 1 b 2 b 3 ⋯ b m − a 1 a 2 a 3 ⋯ a n 999 ⋯ 9 ⏟ m 000 ⋯ 0 ⏟ n {\displaystyle {\begin{aligned}x&={{a_{1}a_{2}a_{3}\cdots a_{n}b_{1}b_{2}b_{3}\cdots b_{m}-a_{1}a_{2}a_{3}\cdots a_{n}} \over {10^{n+m}-10^{n}}}\\&={{a_{1}a_{2}a_{3}\cdots a_{n}b_{1}b_{2}b_{3}\cdots b_{m}-a_{1}a_{2}a_{3}\cdots a_{n}} \over {10^{n}\left(10^{m}-1\right)}}\\&={{a_{1}a_{2}a_{3}\cdots a_{n}b_{1}b_{2}b_{3}\cdots b_{m}-a_{1}a_{2}a_{3}\cdots a_{n}} \over {\begin{matrix}\underbrace {1000\cdots 0} \\n\end{matrix}}\times {\begin{matrix}\underbrace {999\cdots 9} \\m\end{matrix}}}\\&={{a_{1}a_{2}a_{3}\cdots a_{n}b_{1}b_{2}b_{3}\cdots b_{m}-a_{1}a_{2}a_{3}\cdots a_{n}} \over {{\begin{matrix}\underbrace {999\cdots 9} \\m\end{matrix}}{\begin{matrix}\underbrace {000\cdots 0} \\n\end{matrix}}}}\\\end{aligned}}} 。 範例： 0.1 23 ¯ = 123 − 1 990 = 61 495 {\displaystyle 0.1{\overline {23}}={\frac {123-1}{990}}={\frac {61}{495}}} 。 令 x = 0.1 23 ¯ {\displaystyle x=0.1{\overline {23}}} 則 10 x = 1. 23 ¯ {\displaystyle 10x=1.{\overline {23}}} 、 1000 x = 123. 23 ¯ {\displaystyle 1000x=123.{\overline {23}}} 兩式相減得 ( 1000 − 10 ) x = 123 − 1 {\displaystyle \left(1000-10\right)x=123-1} ， 990 x = 122 {\displaystyle 990x=122\,\!} ∴ x = 61 495 {\displaystyle x={\frac {61}{495}}} 。 计算方法 编辑 利用短除法可以将分数(有理数， Q {\displaystyle \mathbb {Q} } )转化为循环小数。 例如 3 7 {\displaystyle {\frac {3}{7}}} 可以用短除法计算如下： 7|3.00000000000000000 0.42857142857142857... 表示方法 编辑 循环小数在不同国家地区都有不同的表示惯例，但没有一种惯例是通用的。 附有示例的不同符号 分数 括线 上点 括号 弧线 省略号 1/9 0.1 0..1 0.(1) 0.Template:Overarc 0.111... 1/3 = 3/9 0.3 0..3 0.(3) 0.Template:Overarc 0.333... 2/3 = 6/9 0.6 0..6 0.(6) 0.Template:Overarc 0.666... 9/11 = 81/99 0.81 0..8.1 0.(81) 0.Template:Overarc 0.8181... 7/12 = 525/900 0.583 0.58.3 0.58(3) 0.58Template:Overarc 0.58333... 1/7 = 142857/999999 0.142857 0..14285.7 0.(142857) 0.Template:Overarc 0.142857142857... 1/81 = 12345679/999999999 0.012345679 0..01234567.9 0.(012345679) 0.Template:Overarc 0.012345679012345679... 22/7 = 3142854/999999 3.142857 3..14285.7 3.(142857) 3.Template:Overarc 3.142857142857... 593/53 = 111886792452819/9999999999999 11.1886792452830 11..188679245283.0 11.(1886792452830) 11.Template:Overarc 11.18867924528301886792452830... 括线：在美国、加拿大、印度、法国、德国、意大利、瑞士、捷克共和国、斯洛伐克、斯洛文尼亚、智利和土耳其，惯例是在重复的循环节上方绘制一条水平线（括线）。 上点：在一些伊斯兰国家，如马来西亚、摩洛哥、巴基斯坦、突尼西亚、伊朗、阿尔及利亚和埃及，以及英国、新西兰、澳大利亚、南非、日本、泰国、印度、大韩民国、新加坡和中国，惯例是将点放在重复的循环节最外围的数字上方。 括号：在欧洲的部分地区，包括奥地利、丹麦、芬兰、荷兰、挪威、 波兰、俄罗斯和乌克兰，以及越南和以色列，惯例是将重复的循环节放在括号中。这会与标准不确定性（英语：standard uncertainty）的符号混淆。 弧线：在西班牙和一些拉丁美洲国家，例如阿根廷、巴西和墨西哥，括线和上点以重复的循环节上的弧线替代。 省略号：非正式地，重复小数通常用省略号表示（三个句点，0.333…），尤其是在学校首次教授以前的符号惯例时。这种符号会带来不确定性，即哪些数字应该循环，甚至是否会发生循环，因为这种省略号也用于无理数；例如，π可以表示为3.14159…。 缺点 编辑 不唯一性 编辑 使用循环小数表示有理数的缺点在于表示方式的不唯一性，例如 1.000000 ⋯ = 1. 0 ¯ = 0. 9 ¯ = 0.999999 ⋯ {\displaystyle 1.000000\cdots =1.{\overline {0}}=0.{\overline {9}}=0.999999\cdots } 与進位制系統密切相关 编辑 由于循环小数与進位制系統密切相关，使得一些简单的有理数在循环小数表示法中的表示形式相当复杂。如： 1 17 = 0. 0588235294117647 0588235294117647 ⋯ = 0. 0588235294117647 ¯ {\displaystyle {1 \over 17}=0.{\color {red}0588235294117647}{\color {blue}0588235294117647}\cdots =0.{\overline {0588235294117647}}} 但在某些进位制当中反而因为循环节较短，使得看起来相当简单。如 1 17 = 1 11 ( 16 ) = 0. 0 F 0 F ⋯ ( 16 ) = 0. 0 F ¯ ( 16 ) {\displaystyle {1 \over 17}={1 \over 11}_{(16)}=0.{\color {red}0F}{\color {blue}0F}\cdots _{(16)}=0.{\overline {0F}}_{(16)}} 又或 1 17 = 1 10 ( 17 ) = 0.1 ( 17 ) {\displaystyle {1 \over 17}={1 \over 10}_{(17)}=0.1_{(17)}} 参考资料 编辑 ^ 康明昌. 循環小數 (PDF). 數學傳播. 2001年9月, 25 (3) [2014-12-28]. （原始内容 (PDF)存档于2021-11-04）. ^ 質數循環節的位數 (PDF). [2008-08-18]. （原始内容 (PDF)存档于2017-01-12）. 參見 编辑 0.999… Midy定理 外部連結 编辑